Le père de la relativité : Einstein vs Poincaré

Moyen : réservé aux amateurs

« Nous sommes comme des nains juchés sur des épaules de géants. »
Cette célèbre métaphore, attribuée à Bernard de Chartres, philosophe du XIIe siècle, et reprise entre autres par Newton et Pascal, est un hommage aux savants prédécesseurs et une reconnaissance du caractère cumulatif du savoir, et en particulier du savoir scientifique.

Nous rendons dans cet article hommage à Henri Poincaré, un mathématicien génial, penseur universel et physicien remarquable. Non pas en tentant de lui attribuer ce qui ne lui est pas dû, mais en reconnaissant quelques uns de ses nombreux apports à la théorie de la relativité restreinte, dont l'aspect primordial fut bel et bien établit par Albert Einstein.

Poincaré, précurseur du principe de relativité

Le 14 septembre de l’année 1904, Henri Poincaré (1854-1912) produit une conférence au Congrès d’art et de science de Saint-Louis, Missouri ¹, intitulée L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique dans laquelle il définit

« Le principe de la relativité, d’après lequel les lois des phénomènes Physiques doivent être les mêmes, soit pour un observateur fixe, soit pour un observateur entraîné dans un mouvement de translation uniforme ; de sorte que nous n’avons et ne pouvons avoir aucun moyen de discerner si nous sommes, oui ou non, emportés dans un pareil mouvement. » (Poincaré, 1904, p306)

Poincaré étend ainsi le principe de relativité du mouvement à toutes les lois physiques. Nous allons voir toutefois que son statut épistémologique n’est pas celui d’un principe fondamental, mais d’une loi physique comme une autre, sous le contrôle de l’expérimentation.

En effet, l’année suivante, Poincaré publie l'article La dynamique de l’électron, dans laquelle il remarque à propos des expériences sur l’éther, dont celle de Michelson qui est la seule qu’il mentionne explicitement :

« Il semble que cette impossibilité de mettre en évidence expérimentalement le mouvement absolu de la Terre soit une loi générale de la Nature ; nous sommes naturellement portés à admettre cette loi, que nous appellerons le Postulat de Relativité et l’admettre sans restriction. Que ce postulat, jusqu’ici d’accord avec l’expérience, doive être confirmé ou infirmé plus tard par des expériences plus précises, il est en tout cas intéressant de voir quelles en peuvent être les conséquences. »(Poincaré, 1905)

On voit clairement dans cette citation que pour Poincaré le principe de relativité est en fait une loi de la nature, postulée non pas par nécessité logique, mais parce que l’expérimentation la suggère. Selon Poincaré, le principe de relativité est la conséquence d’une dynamique qu’il cherche à déterminer (Damour, 2005), ce qu’il fait sous l’hypothèse que l’inertie et toutes les forces soient d’origine électromagnétique. Il fera de même dans un article similaire de 1908.
En travaillant sur la dynamique, il a besoin du concept d’éther. Si Poincaré n’admet pas l’existence d’un espace physique absolu, il considère l’éther comme une construction de l’esprit temporairement nécessaire, dont le but est de simplifier nos représentations. Ainsi il fera toujours usage du concept d’éther dans ses travaux.

En somme, son travail baigne dans les théories électromagnétiques de James Clerk Maxwell (1831-1879), pour qui « l’existence de l’éther est un fait fondamental et indéniable de la physique », Darrigol, 2005, p2) et de Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) (qui travaille par exemple sur une extension de l’électromagnétisme d’où découlerait la gravitation), lorsqu’il réfléchit par exemple sur la possible origine électromagnétique de la masse en 1908. Même s’il n’est pas à la recherche d’une théorie du tout électromagnétique, Poincaré adhère complètement à la théorie de Maxwell et ne la remet pas en question, il travaille donc dans un contexte tout à fait différent de celui d’Einstein qui ne suivra pas ces exemples de près.

En effet, Poincaré nait en 1854 et finit ses études (à Polytechnique, école des Mines et Sorbonne en parallèle) en 1878. La théorie de l’électromagnétisme est alors tout récemment établie (Maxwell publie son article A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field en 1865) et c’est Poincaré qui l’introduit en France (Rougé, 2008, p29).
C’est donc pour lui une théorie en développement, qui est utilisée par les ingénieurs avant même qu’il commence à l’enseigner en 1887, et confirmée par les expériences de Hertz, qu’il aborde dans son cours de 1890 (Rougé, 2008, p29). Il connaît la théorie, la comprend et la transmet aux générations suivantes. Ses réflexions sur l’électrodynamique et le principe de relativité doivent s’adapter à ce corpus de connaissances bien établies. S’il ne s’adapte pas, si l’expérience le réfute, le principe devra être modifié, adapté voire supprimé.


Selon Poincaré, la physique est en période de crise. Il l’observe, il le signale, et fait des suggestions, parfois prophétiques. M.A.Tonnelat cite Poincaré :

« [...] nous devons passer la main aux expérimentateurs et, tandis que nous attendrons d’eux une décision pour le débat, nous ne nous préoccuperons pas de ces problèmes inquiétants et, tranquillement, nous continuerons à travailler comme si les problèmes étaient toujours valables. »

Et elle en conclut : « On sent combien la pensée de Poincaré est ici en désaccord avec celle d’Einstein. La «crise relativiste» reste, pour Poincaré, une affaire purement expérimentale et probablement éphémère. » (Tonnelat, 1971, p123-124)

Histoire des transformations de Lorentz

Woldemart Voigt (1850-1919), publie en 1887 un article (Ueber das Doppler'sche Princip, Göttinger Nachrichten, num. 7, p41-51, 1887) sur l'effet Doppler dans lequel il remarque l'invariance de certaines équations différentielles sous les changements de variables (en notation moderne) :

$x^\prime=x-vt$, $y^\prime=\frac y \gamma$, $z^\prime=\frac z\gamma$, $t^\prime=t-\frac{vx}{c^2}$, $\gamma=\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

En 1889, George Francis FitzGerald (1851-1901) publie dans la revue Science l'article L'éther et l'atmosphère terrestre, dans lequel il formule l'hypothèse de contraction des longueurs, hypothèse que Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) formulera aussi, indépendament de FitzGerald, dans un article de 1892 (H.A.Lorentz, Die relative Bewegung der Erde und des Äthers, Zittingsverlag Akad. Wet. Amsterdam, vol. 1, p74, 1892.

Dans son ouvrage La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants (Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, T. XXV) de 1892, Lorentz utilisera des transformations bien différentes de celles de Voigt :

$x^\prime=\dfrac c{\sqrt{c^2-v^2}}x$, $y^\prime=y$, $z^\prime=z$, $t^\prime=t-\dfrac{\epsilon}{c}x^\prime$ avec $\epsilon=\dfrac v{\sqrt{c^2-v^2}}$.

Aussi bien pour Voigt que pour Lorentz, ces transformations ne sont encore que des outils mathématiques sans signification particulière.
Lorentz introduit le concept de temps local correspondant à l'image de la coordonnée de temps par ces transformations. Toutefois, ce temps local n'a pas pour lui de signification autre que mathématique. Ceci est très certainement valable pour la plupart des physiciens de l'époque : peu nient l'effectivité de la contraction des longeurs, mais en revanche le temps local reste un temps fictif.

Dans un article de 1899 (Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems, Proceedings of the Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 1, p427-442, 1899), Lorentz observera que l'hypothèse de contraction découle naturellement des transformations qu'il reformulera :

$x^\prime=\dfrac c{\sqrt{c^2-v^2}}x$, $y^\prime=y$, $z^\prime=z$, $t^\prime=t-\dfrac{v}{c^2-v^2}x$

Dans un article de 1904 (Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light, Proceedings of the Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 6, p809, 1904) Lorentz donnera des transformations encore différentes:

$x^\prime=klx$, $y^\prime=ly$, $z^\prime=lz$, $t^\prime=\frac lk t-kl\frac w{c^2}x$ avec $k^2=\dfrac{c^2}{c^2-w^2}$

On voit donc qu'en 1904, la forme de ces transformations n'est pas encore parfaitement déterminée, elle apparaît par tâtonnement, par essais/erreurs.

L'année suivante, 1905, Poincaré présente à l'Académie des Sciences la note Sur la dynamique de l'électron résumant son article (Poincaré, 1905) qu'il prévoit de présenter à Palerme, et dans laquelle il confirme et corrige les résultats de Lorentz de 1904, donne leur nom aux transformations de Lorentz (corrigées)

$x^\prime=kl(x+\epsilon t)$, $y^\prime=ly$, $z^\prime=lz$, $t^\prime=kl(t+\epsilon x)$ avec $k=\dfrac 1{\sqrt{1-\epsilon^2}}$

et observe qu'elles doivent former un groupe :

Henri Poincaré, Sur la dynamique de l'électron, Juin 1905

Il leur donne ainsi leur forme définitive ² :

$x^\prime=k(x+\epsilon t)$, $y^\prime=y$, $z^\prime=z$, $t^\prime=k(t+\epsilon x)$ avec $k=\dfrac 1{\sqrt{1-\epsilon^2}}$.

Einstein, fondateur d'une "méta-loi"

Einstein naît en 1879 et apprend l’électromagnétisme sur les bancs de l’École polytechnique fédérale de Zurich de 1896 à 1900. Toutefois, le cours de son professeur Heinrich Friedrich Weber (1843-1912) ne comprend pas ou peu d’électromagnétisme (Pais, 1993, p44 et p129) et l’intéresse beaucoup moins que l’ouvrage plus moderne d’August Föppl (1854- 1924) Einfürhung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität, Leipzig, Teubner, 1894, ou l’ouvrage critique de Mach sur la mécanique (Pais, 1993, p44).

Il étudie aussi l’ouvrage d’un « sympathisant de la philosophie de Mach » (Darrigol, 2005, p15), Paul Karl Ludwig Drude (1863-1906) avec son ouvrage Physik des Aéthers, F. Enke, 1894.

Ainsi il découvre et apprend l’électromagnétisme et la physique moderne en autodidacte, à sa manière, sans idée préconçue c’est-à-dire sans suivre les guides d’une théorie particulière.

Nous avons vu dans l'article précédent sur le groupe de Lorentz la formulation du principe de relativité d'Einstein, dans son article Sur l’électrodynamique des corps en mouvement, et l'on peut observer qu'elle est parfaitement équivalente syntaxiquement à celle de Poincaré (notons qu’Einstein n’a eu connaissance que de son ouvrage La science et l’hypothèse de 1902 et non des articles dont nous avons fait mention, voir Pais, 1993).

Elle en diffère toutefois notablement sur trois points :

• Tout d’abord, sa motivation est différente. Il ne cherche pas à corriger la théorie de Lorentz, mais rejette une asymétrie de la théorie de Maxwell dans l’explication de l’effet d’induction où un même phénomène reçoit deux explications différentes selon l’observateur, ce qui n’est pas acceptable pour Einstein. C’est cette nécessité de symétrie qui selon lui justifie l’application à toute la physique du principe de relativité.

• Ensuite, son statut épistémologique est fondamentalement différent de celui du principe de Poincaré :
  Einstein pose une condition nécessaire à l’expression de toutes les lois physiques.
  Si une équation ou un postulat ne sont pas invariants sous les transformations de Lorentz, alors le principe de relativité assure que ce ne sont pas des lois de la nature. Einstein considère que le principe de relativité est une propriété universelle des phénomènes érigée en axiome, c’est un guide et le fondement de la théorie, une théorie à principe (selon ses termes). Il s'agit d'une loi sur les lois physiques, une "méta-loi".
  De plus, le principe de relativité porte sur l’espace(-temps) et lui donne un sens physique même si cet espace est vide, sans corps (c’est une cinématique, c-à-d. une condition pour l’expression de la dynamique), ce que Poincaré réfléchissant sur la dynamique seule ne pouvait ni concevoir, ni accepter (Paty, 1987, p15).
  Cette considération seule permet de différencier clairement le rôle du principe de relativité dans les conceptions de Poincaré et Einstein.
  
  A cela, il nous faut ajouter une différence notable de style : si Einstein est un constructeur de théories, par une méthode axiomatique, Poincaré est un critique et suggère des solutions, sans jamais bâtir de théorie complète, mais par une présentation historique (Rougé, 2008, p194).

• Enfin, puisque selon ce principe aucun référentiel inertiel ne peut être privilégié pour la formulation des lois physiques, un éther mécanique est une aberration, en contradiction logique avec la théorie. Tenter de le conserver obligerai à lui retirer la seule propriété physique qui le caractérisait : son immobilité (Einstein, 1921, p84).
  C’est un concept qui n’est pas simplificateur pour Einstein (contrairement à Poincaré), mais source de contradiction, qui ne ferait que soulever des problèmes sans en résoudre.

Conclusion

Nous avons vu que c'est Poincaré qui formule le principe de relativité, nomme et corrige les transformations de Lorentz, signale et exploite la structure de groupe de ces transformations. A ces exemples, on pourrait ajouter qu'il établit la méthode de synchronisation des horloges par signaux lumineux (La mesure du temps, Revue de métaphysique et de morale, T.6, janv 1898), la formule d'additivité des vitesses, l'invariance des équations de Maxwell dans le vide, et enfin l'hypothèse de vitesse limite de la lumière (Poincaré, 1905). Sans oublier qu'il utilise déjà un formalisme quadridimensionnel qui inspirera les travaux ultérieurs de Minkowski.

Ainsi, il maîtrise la majeure partie des concepts et outils techniques de ce que l'on appelle maintenant la théorie de la relativité restreinte, à la différence près (fondamentale !) qu'il ne s'agit pour lui que de corrections apportées aux travaux de Lorentz, constituant une dynamique comme une autre, subordonnée qui plus est à la théorie électromagnétique de Maxwell.

C'est ce qui fait d'Einstein le véritable fondateur de la théorie, puisqu'il présente indépendamment dans son article de 1905 tous ces points (excepté l'importance de la structure de groupe des transformations) dans une théorie cohérente, constituant une cinématique qui va conditionner les lois physiques et en particulier celles de l'électromagnétisme.

Poincaré n'en reste pas moins un précurseur particulièrement important parmi tous les physiciens et mathématiciens ayant contribué à son élaboration.

Notes :

1. Au cours de la 18ème exposition universelle, où elle eu lieu du 30 avril au 1er décembre de cette année 1904.

2. Au signe près, ce qui revient juste à considérer les transformations inverses.

Bibliographie :

• Thibault Damour, Einstein 1905-1955 : son approche de la physique, Séminaire Poincaré 1, p1-25, 2005.

• Olivier Darrigol, The genesis of the theory of relativity, séminaire Poincaré, 2005.

• Albert Einstein, L’éther et la théorie de la relativité.
  Conférence du 14 juin 1920 à l’université de Leyde. Traduction française par Maurice Solovine, Gauthier-Villars, 1921.

• Abraham Pais, Subtile est le seigneur, Albert Einstein : La vie et l’oeuvre, InterEditions, 1993.

• Michel Paty, Einstein et la pensée de Newton, La Pensée, num. 259, p17-37, 1987.

• Henri Poincaré, L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique, Bulletin des Sciences Mathématiques, série 2, t.28, décembre 1904, p302-324.
  Conférence originale du 24 septembre 1904 au congrès d’Art et de Science de Saint-Louis.
  Aussi dans La Valeur de la science, chapitre 7.

• Henri Poincaré, La dynamique de l’électron, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences de Palerme, 1905.
  Publication originale dans Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo, t.21, p129-175, 1906 (reçu le 23 juillet 1905, imprimé le 14 décembre 1905). Voir aussi l'étude en trois parties de H.M. Schwartz,  American Journal of Physics (num.39 et 40, pages 1287–1294, 862–872, 1282–1287), Poincaré's rendiconti paper on relativity (EN).

• Henri Poincaré, Sur la dynamique de l'électron (FR), note manuscrite, 5 juin 1905. 

• André Rougé, Relativité Restreinte. La contribution d'Henri Poincaré, Ecole polytechnique, 2008.

• Marie Antoinette Tonnelat, Histoire du principe de relativité, Flammarion, Paris, 1971.

• Johann Colombano-Rut, La mathématisation de la mécanique relativiste, mémoire de M2 (non publié), 2009.

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