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La structure de groupe est un concept fondamental, dont l'usage dépasse largement les mathématiques. Il est très utilisé en physique, et nous verrons dans un prochain article un exemple de groupe important dans la théorie de la relativité restreinte.
Ici nous nous contenterons d'en donner la définition ainsi que quelques exemples simples.
Qu'est-ce qu'un groupe ?
Un groupe est un ensemble d'éléments, muni d'une structure précise. Il y a deux façons de définir de manière générale ce que l'on appelle une structure :
$\bullet$ la première consiste à définir des opérations ensemblistes, des relations entre les éléments d'un ensemble, ou entre des sous-ensembles de celui-ci. C'est ainsi que l'on peut définir par exemple une géométrie. On définit des relations entre les éléments que l'on appelle "points", et les sous-ensembles appelés "droites" : l'appartenance, l'intersection, etc. Ensuite on postule des propriétés précise de ces opérations de façon à former un système logique consistant : deux droites se coupent en au moins un point, toute droite contient au moins trois points, etc. On parle dans ce cas de structure géométrique.
$\bullet$ la seconde consiste à définir une ou plusieurs lois de composition sur les éléments de l'ensemble. A un certain nombre d'éléments on leur en associe d'autres. Les propriétés de ces lois de composition déterminent une structure particulière. On parle alors de structure abstraite. C'est le cas d'un groupe.
Voici les propriétés de la loi de composition $\circ $ sur un ensemble $G$ définissant un groupe :
- elle est binaire, c'est-à-dire qu'elle prend en argument deux éléments. Si on note les éléments en question $a$ et $b$, on écrit $a\circ b$.
- elle est interne, c'est-à-dire que pour tout $a,b\in G$ on a $a\circ b\in G$.
- elle est associative, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c\in G$, on a $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$.
- il existe un élément neutre $e$ tel que pour tout $a\in G$, $a\circ e=e\circ a=a$.
- pour tout élément $a\in G$, il existe un élément $d\in G$ tel que $a\circ d=d\circ a=e$. C'est l'inverse de $a$ pour la loi $\circ $.
Par exemple, l'ensemble des nombres relatifs $\mathbb Z$ est un groupe pour la loi d'addition $+.$ Son élément neutre est $0$ et les inverses sont les nombres négatifs. Ce n'est pas un groupe pour la loi de multiplication $\times$.
L'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$ est un groupe pour la multiplication. L'élément neutre est $1$ et l'inverse d'un nombre rationnel $q=\frac xy$ est la fraction inverse $q^{-1}=\frac yx$. De plus, $\mathbb Q$ est aussi un groupe pour la loi d'addition $+$.
Il existe aussi des groupes constitués d'un nombre fini d'éléments. Ces groupes sont plus faciles à étudier et offrent tout de même des propriétés intéressantes.
Par exemple, il n'y a que deux groupes à quatre éléments. Ils sont entièrement caractérisés par leur table d'opération. Si on note $e$ l'élément neutre et $a,b,c$ les trois autres éléments du groupe, ces tables sont :
Le premier tableau définit le groupe d'ordre quatre dit "cyclique" car chaque élément peut être écrit comme une itération d'un élément générateur, le groupe est noté
$$\mathbb Z_4\simeq\{a, a^2, a^3, a^4=e\}.$$
Le second est appelé groupe de Klein, noté
$$\mathbb D_2\simeq\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2\simeq\{a, b, a\circ b, a^2=b^2=e\}.$$
Cette structure abstraite de groupe, résumant un ensemble d'opérations bien définies sur ses éléments peut être interprétée géométriquement. Les deux types de structures dont nous avons parlé au début de cet article sont en effet fortement liées. Nous reviendrons en détail sur ce lien général reliant structure géométrique et structure abstraite dans un prochain article portant sur ce que les mathématiciens nomment le programme d'Erlangen.
En attendant, nous nous contenterons de l'interprétation du groupe de Klein.
Interprétation géométrique du groupe de Klein
Considérons des transformations géométriques, ou "symétries" dans un plan. Notons $e$ la symétrie triviale qui ne change rien, l'identité. Notons $a$ une symétrie axiale ou réflexion. Notons $b$ une seconde symétrie axiale, d'axe perpendiculaire à la précédente. Enfin, notons $c$ une rotation d'angle $180^\circ$ autour du point d'intersection des axes précédents.
Si l'on considère la loi $\circ $ comme étant la composition de deux transformations géométriques, alors celles-ci forment un groupe, qui est précisément le groupe de Klein. En effet, les symétries axiales et la rotation de $180^\circ$ sont involutives, autrement dit $a\circ a=e$, $b\circ b=e$ et $c\circ c=e$. On remarque aussi que l'on a bien $a\circ b=c$.
Autrement dit, l'ensemble des symétries d'un rectangle (non carré), ou plus précisément son groupe des isométries dans le plan, forment un groupe de Klein d'ordre $4$ :
Beaucoup d'objets possèdent ces symétries. Observons que nous ne parlons pas nécessairement de symétrie spatiale, mais aussi de symétrie de permutation.
Le groupe du matelas
Un exemple d'objet possédant ces symétries est un matelas rectangulaire. Dans l'espace à trois dimensions cette fois-ci, nous considérons trois rotations $a, b$ et $c$ d'axes perpendiculaires deux à deux. Et nous faisons usage de ces symétries du groupe de Klein : pour dormir dans un confort optimal et assurer une longue vie à son matelas, il faut le retourner régulièrement pour aplanir les bosses et combler les creux, tout en le plaçant à chaque fois dans une position différente pour répartir les charges de façon équilibrée. Il ne suffit pas de le retourner pour que le creux soit dessous (transformation $a$ ou $b$), il faut aussi le changer de sens, afin que notre poids ne soit pas toujours au même endroit (transformation $c$).
Néanmoins, on ne le retourne que quelques fois par an, si bien que l'on ne se souvient jamais de la façon dont il a été retourné la fois précédente...
Certains conseillent d'effectuer deux opérations par an, comme une rotation au printemps (transformation $c$) et un "retournement" (transformation $a$ ou $b$) à l'automne (cette solution est efficace), ou bien encore des combinaisons compliquées inefficaces... Alors que faire ?
La solution est simple : étiqueter les coins ! Plutôt que de chercher à effectuer toujours le même mouvement afin de ne pas s'y perdre, il suffit de repérer les quatre coins de chaque face du matelas par des chiffres de 1 à 4, et ainsi suivre le cycle 1, 2, 3, 4 dans un coin fixé (toujours le même) par les mouvements appropriés !
Le groupe du mécanicien
Considérons les quatres roues d'une voiture que l'on numérote de $1$ à $4$ de la façon suivante :
Ma future voiture
(photo carphotomobil.com)
Si l'on note $(12)$ la permutation qui consiste à intervertir la roue $1$ avec la roue $2$, nous pouvons effectuer les changements $(12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23)$.
En revanche, deux roues d'un même essieu doivent rester sur un même essieu, car la géométrie, le parallélisme ainsi que le style de conduite peuvent entraîner une usure différente de chaque pneu, et le code de la route exige que les pneus d'un même essieu ne présentent pas une grande différence d'usure (chapitre V du code de la route, articles R314-1 à R314-7), donc il est conseillé de veiller à l'uniformité de l'usure des pneus.
Ainsi, il n'est pas possible d'effectuer les échanges $(13), (14), (23), (24), (1234)$, $(1243), (1324), (1342), (1423), (1432)$, les six dernières transformations étant des rotations cycliques des quatres roues. Les rotations de trois roues $(123), (124)$, $(132), (134), (214), (234), (243), (314)$ ne sont pas possibles non plus.
Les permutations $a=(13)(24), b=(12)(34), c=(14)(23)$ ainsi que l'identité forment un groupe de Klein. Avec la permutation supplémentaire $d=(12)$, le groupe s'agrandit de la permutation $(34)=(12)(34)\circ (12)$, ainsi que des cycles $(1432)=(13)(24)\circ (12)$ et $(1324)=(12)\circ (13)(24)$.
Ainsi le groupe des permutations de roues autorisées, que nous appellerons groupe du mécanicien, est
$$\mathbb D_4\simeq\mathbb Z_4\rtimes \mathbb Z_2\simeq\{a,b,a\circ b,d,b\circ d,a\circ d,d\circ a,e\}.$$
Il est bien entendu qu'un concepteur de matelas ou un mécanicien n'ont pas besoin des groupes de symétrie dans leur travail ! En revanche, ils deviennent utiles dès que l'on cherche à comprendre la nature profonde des relations logiques et géométriques qu'entretiennent les objets avec l'espace dans lequel nous les représentons. Nous verrons dans un prochain article une application profonde et plus complexe des groupes abstraits en physique, avec l'exemple du groupe des transformations de la relativité restreinte.
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