Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 3 : les nombres rationnels

Moyen : réservé aux amateurs

L'homme de Vitruve par Leonard De Vinci
Source Luc Viatour

Qu'est-ce qu'une fraction ?
Si la réponse à cette question est relativement aisée grace au concept de proportion, nous verrons que les nombres rationnels possèdent des propriétés surprenantes.
Il n'est pas très éclairant d'effectuer pour les nombres rationnels la distinction ordinal/cardinal que nous avons observé pour les nombres entiers, même s'il est toujours possible de la faire. En revanche la cardinalité soulève tout de même quelques questions : qu'est-ce qu'une quantité fractionnaire ? Pire, qu'est-ce qu'une quantité fractionnaire négative ?
Une fois ces questions éclairées, nous verrons quelques exemples célèbres de nombres non rationnels tels que $\pi$ et $\sqrt 2$. Nous aborderons ensuite quelques propriétés de structure et de topologie de l'ensemble des nombres rationnels.

Mesurer la proportion

Nous avons vu dans l'article précédent sur les entiers relatifs que ces derniers (en termes de cardinalité) consistaient à comparer deux ensembles d'objets différents en dénombrant leur "différence". Les nombres rationnels permettent eux aussi de comparer deux ensembles d'objets, mais cette fois-ci en dénombrant leur "proportion".

Rappelez-vous que nous pouvions définir la différence entre deux couples d'entiers à l'aide de l'addition : $(x,y)$ et $(x^\prime,y^\prime)$ ont la même différence si et seulement si $x+y^\prime=y+x^\prime$.
Et bien de la même manière, on peut définir la proportion ou le "rapport" à l'aide de la multiplication : $(x,y)$ et $(x^\prime,y^\prime)$ ont la même proportion si et seulement si $x\times y^\prime=y\times x^\prime$.

Lorsque deux couples sont en proportion, ce que l'on peut noter $(x,y) \sim (x^\prime,y^\prime)$ , on dit que leurs rapports sont égaux et on note aussi $\frac xy = \frac{x^\prime}{y^\prime}$.

Reprenons par exemple les balles de baseball et les pommes. Nous mesurons alors le rapport entre le nombre de balles et le nombre de pommes :

4 balles et 6 pommes que représente le couple $(4,6)$ ou encore la fraction $\frac46$.

2 balles et 3 pommes que représente le couple $(2,3)$ ou encore la fraction $\frac23$.

Puisque $4\times 3= 6\times 2$ nous avons ici la même proportion de balles relativement aux pommes, on note $\frac46=\frac23$.
Notons que la proportion de balles relativement au total des balles et pommes est différent, puisqu'il est représenté par la fraction $\frac4{10}$ dans le premier cas et $\frac 25$ dans le second. Ce sont toujours les mêmes proportions qpuisque $4\times 5= 10\times 2$.

Une fraction est donc une proportion d'un ensemble d'objets relativement à un autre ensemble d'objets. Très bien mais alors que signifie une fraction négative comme $-\frac23$ ?
Et bien nos couples $(x,y)$ ne sont pas constitués seulement d'entiers naturels, mais aussi d'entiers relatifs. Ainsi les choses se compliquent un peu : nous ne mesurons pas le rapport entre le nombre de balles et le nombre de pommes, mais le rapport entre des différences de balles et de pommes...

Ainsi à la place de 2 balles il nous faut voir toutes les situations où il y a 2 balles de plus que de pommes, et à la place de 3 balles, toutes les situations où il y a 3 balles de plus que de pommes :

2 balles de plus que de pommes et 3 balles de plus que de pommes que représente
le couple de relatifs $(2,3)$ ou encore la fraction $\frac23$.

Dans ce cas, la fraction représente la proportion entre une différence de balles et de pommes et une seconde différence de balles et de pommes... Pour faire court on peut dire qu'il s'agit de la proportion relative de balles par rapport aux pommes.

Du coup, la même fraction mais négative est

2 pommes de plus que de balles et 3 balles de plus que de pommes que représente
le couple de relatifs $(-2,3)$ ou encore la fraction $-\frac23$.

ou encore

2 balles de plus que de pommes et 3 pommes de plus que de balles que représente
le couple de relatifs $(2,-3)$ ou encore la fraction $-\frac23$.

Finalement, les fractions sont plus compliquées qu'elles en ont l'air !

Une fraction étant définie par un couple de nombres relatifs (à la relation d'équivalence $\sim$ près), chacun pouvant être caractérisé par deux nombres entiers naturesl, on peut donc aussi la définir à l'aide de quatre nombres entiers naturels (à une nouvelle relation d'équivalence près) ¹...
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ces relations d'équivalence sont bien compatibles avec les opérations d'addition, multiplication et leurs opérations inverses (chaque rationnel possède un inverse pour l'addition et la multiplication) : l'ensemble des rationnels $\mathbb Q$ est un corps.

Les nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire comme une fraction d'entiers relatifs. Cela signifie qu'il y a des proportions qui ne peuvent pas être représentées par un ensemble fini de pommes et de balles, ou de n'importe quels objets.

Prenons par exemple le nombre $\sqrt2$. Celui-ci "mesure" bel et bien une proportion : le rapport entre la longueur du côté d'un carré et sa diagonale. Pourtant il ne peut pas s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers relatifs. C'est bien là ce qui surpris tant les mathématiciens grecs.

En termes modernes, les nombres entiers naturels ne permettent pas de caractériser univoquement les mesures de longueur, ni les relatifs, ni même les rationnels. On dit que $\sqrt2\notin\mathbb Q$ est un nombre irrationnel.

Un autre nombre irrationnel, certainement le plus célèbre, est $\pi$. Il mesure la proportion de la circonférence d'un cercle relativement à son diamètre, mais ne peut pas s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers relatifs : $\pi\notin\mathbb Q$.

Dans l'écriture décimale (en fait en n'importe quelle base strictement supérieure à un), on observe facilement cette différence fondamentale entre nombre rationnel et irrationnel. Le développement d'un nombre rationnel n'est pas nécessairement fini (comme c'est le cas pour les nombres entiers ou décimaux), mais il est systématiquement périodique :

$\frac{13}7=1,857142\, 857142\, 857142\, 857142 ...$ est un rationnel de période $857142$.
On note $\frac{13}7=1,\overline{857142}$.

$\frac{130}{70}=1,\overline{857142}$ est le même nombre rationnel.

$\frac13=0,\overline{3}$ est un nombre rationnel de période $3$.

$\pi=3,141593...$ n'a aucune période car il est irrationnel.

$\sqrt2=1,414213...$ est aussi irrationnel, pas de régularité.

Propriétés topologiques surprenantes de $\mathbb Q$

Tout d'abord, remarquons qu'entre deux fractions, il existe toujours une autre fraction.
En effet, prenons deux nombres rationnels $a$ et $b$. Alors $\frac{a+b}2$ est un rationnel différent et compris entre les deux.

Maintenant, entre deux fractions, on peut aussi toujours trouver un nombre réel irrationnel. Par exemple $\frac{a(b-a)}3\sqrt2$ qui est bien compris entre $a$ et $b$.

Du coup, on peut toujours approcher un nombre réel par une fraction, avec une précision aussi fine que l'on veut (non nulle). On dit que l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$ est dense dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$.

Propriété 1:
$\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$.

On peut aussi montrer qu'entre deux irrationnels il existe toujours un autre irrationnel, ainsi qu'un nombre rationnel. D'où,

Propriété 2:
L'ensemble des irrationnels $\mathbb I$ est dense dans $\mathbb R$.

Maintenant voyons quel ensemble contient "le plus d'éléments".
L'ensemble des rationnels est dénombrable, c'est à dire que l'on peut numéroter ² tous les nombres rationnels :

Les rationnels positifs sont dénombrables
Source : Wikipedia Commons, Cronholm144

En revanche, l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable (ce que montre l'argument de la diagonale de Cantor). On ne peut pas mettre en bijection chaque nombre réel avec un nombre entier naturel.

Ainsi,

Propriété 3:
$\mathbb Q$ est dénombrable mais $\mathbb R$ ne l'est pas.

On peut en déduire

Propriété 4:
L'ensemble des irrationnels $\mathbb I$ n'est pas dénombrable (Presque tous les nombres réels sont irrationnels).

Donc résumons : Il y a beaucoup plus de nombres réels que de nombres rationnels, mais pourtant chaque nombre réel peut être approché par un nombre rationnel ! Les nombres rationnels sont présents partout sur la droite réelle, mais puisqu'il y a beaucoup plus de nombres irrationnels, les rationnels sont en même temps quasiment introuvables !

Comment cela est-il possible ?
Cela vient du fait que l'ensemble des nombres rationnels est à la fois infini et négligeable. Cela semble paradoxal, mais pourtant il n'en est rien.
Un ensemble négligeable dans $\mathbb R$ est contenu dans une suite d'intervalles de la droite réelle dont la longueur totale est aussi petite que l'on souhaite. La longueur d'un intervale $[a,b]$ de $\mathbb R$ est simplement la différence $b-a$.
Un exemple d'ensemble négligeable est un ensemble ne contenant qu'un élément, un seul nombre, comme par exemple $\{\pi\}$ car celui-ci est contenu dans l'intervalle

$[\pi-\frac12,\pi+\frac12]$ 

de longueur $1$, ainsi que dans l'intervalle

$[\pi-\frac13,\pi+\frac13]$ 

de longueur $\frac23$, et

$[\pi-\frac14,\pi+\frac14]$ 

de longueur $\frac12$, etc. En fait $\pi$ appartient à tous les intervalles

$[\pi-\frac1n,\pi+\frac1n]$ 

de longueur $\frac2n$. On voit que plus l'on prend $n$ grand, plus la longueur de l'intervalle devient petite, mais $\pi$ appartiendra toujours à l'intervalle. Ainsi l'ensemble $\{\pi\}$ est négligeable dans l'ensemble des nombres réels.

Il semble raisonnable de penser que la réunion de plusieurs ensembles négligeables est encore un ensemble négligeable. Ainsi l'ensemble des nombres entiers compris par exemple entre 0 et $\pi$, à savoir $\{0,1,2,3\}$ est un ensemble négligeable dans $\mathbb R$. Après tout cela semble intuitif qu'un ensemble constitué de quelques nombres soit négligeable devant l'infinité de tous les nombres réels.

Là où cela devient surprenant, c'est que la réunion d'une infinité ³ d'ensembles négligeables est encore négligeable ! Ainsi l'ensemble des entiers naturels, relatifs, ou même l'ensemble des nombres rationnels sont négligeables dans $\mathbb R$ ! Cela revient à dire qu'une infinité d'éléments peut être négligeable devant une autre infinité d'éléments. Clairement il doit exister plusieurs "niveaux" d'infini, l'infinité des nombres réels étant beaucoup plus grande que l'infinité des nombres entiers ou même rationnels.

C'est l'intrusion de la notion d'infini qui donne cette propriété surprenante à l'ensemble des nombres rationnels, qui est à la fois dense et négligeable dans $\mathbb R$. Il ne s'agit pourtant pas d'un paradoxe, et les mathématiciens sont habitués à cette propriété étrange mais parfaitement cohérente avec le reste des mathématiques.

Dans le prochain épisode nous découvrirons ce que cachent ces différents niveaux d'infini que sont les nombres transfinis.

Autres articles sur le thème «Qu'est-ce qu'un nombre ?»

Episode 1 : les nombres entiers naturels
Episode 2 : les nombres entiers relatifs
Episode 3 : les nombres rationnels
Episode 4 : les nombres transfinis

Notes :

1. Pour les puristes, l'ensemble des nombres rationnels peut en fait être construit d'au moins trois façons différentes :

$\bullet\quad \mathbb Q= ^{\mathbb Z\times \mathbb Z^*\!\!\!\!}\diagup_{\!\!\sim}$ avec $\mathbb Z^*$ l'ensemble des relatifs privé de zero et $\sim$ telle que pour $x,x^\prime \in \mathbb Z$ et $y,y^\prime \in \mathbb Z^*$ on a $(x,y)\sim(x^\prime,y^\prime)$ (que l'on note $ \frac{x}{y}=\frac{x^\prime}{y^\prime} $) si et seulement si $x\times y^\prime=y\times x^\prime$.

$\bullet\quad \mathbb Q=^{\mathbb N\times\mathbb N\times\mathbb N\times\mathbb N\!\!\!\!}\diagup_{\!\!\simeq}$ avec $\simeq$ telle que pour $a,b,c,d,a^\prime,b^\prime,c^\prime,d^\prime \in \mathbb N$ tels que $d\neq c$ et $c^\prime\neq d^\prime$ on a $(a,b,c,d)\simeq (a^\prime,b^\prime,c^\prime,d^\prime)$ (que l'on note $ \frac{a-b}{c-d}=\frac{a^\prime-b^\prime}{c^\prime-d^\prime} $) si et seulement si $(a-b)(c^\prime-d^\prime)=(a^\prime-b^\prime)(c-d)$.

$\bullet\quad \mathbb Q=^{\mathbb N\times\mathbb N\times\mathbb N^*\!\!\!\!}\diagup_{\!\!\approx}$ avec $\approx$ telle que pour $a,b,a^\prime,b^\prime \in \mathbb N$ et $c,c^\prime \in \mathbb N^*$ on a $(a,b,c)\approx (a^\prime,b^\prime,c^\prime)$ (que l'on note $ \frac{a-b}{c}=\frac{a^\prime-b^\prime}{c^\prime} $) si et seulement si $(a-b)c^\prime=(a^\prime-b^\prime)c$.

2. Numéroter signifie "mettre en bijection avec les nombres entiers naturels". Voici comment procéder : on prend les fractions irréductibles dont la somme du numérateur et du dénominateur fait 2. Il n'y a que $\frac11$ que l'on peut numéroter $0$. Puis on prend leurs négatifs, ici $-\frac11$ que l'on numérote $1$. Ensuite nous prenons toutes les fractions irréductibles dont la somme du numérateur et du dénominateur fait 3. Il y a $\frac21$ et $\frac12$ que l'on numérote respectivement $2$ et $3$. On prend leurs négatifs, $-\frac21$ et $-\frac12$ que l'on numérote respectivement $4$ et $5$, et l'on recommence. De cette manière, nous pouvons attribuer un nombre entier naturel à tout nombre rationnel : l'ensemble des nombres rationnels est donc dénombrable.

3. Sous entendu autant qu'il y a de nombres entiers naturels. La réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable. Ce n'est plus nécessairement le cas pour une infinité non-dénombrable. Nous verrons dans l'article sur les nombres transfinis qu'il existe plusieurs cardinalités infinies.

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