Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 4 : Les secrets vertigineux de l'infini

Moyen : réservé aux amateurs

« L'éternité, c'est long. Surtout vers la fin. »

Woody Allen (1935 - )

La lemniscate, symbole de l'infini

Qu'est-ce que l'infini ? Comment concevoir un concept par définition tellement immense que rien ne peut le contenir ?
Aussi surprenant que cela puisse paraître, la réponse n'est pas philosophique mais belle et bien mathématique.
Nous verrons qu'il est possible de définir l'infini de façon rigoureuse et consistante.
Nous verrons même qu'il existe de nombreux infinis différents : en fait il existe une infinité d'infinis différents !
Trois notions d'infinis jouent un rôle particulièrement important en mathématiques :
l'infini ordinal défini comme nombre plus grand que tous les nombres entiers, l'infini cardinal comme nombre d'éléments d'un ensemble infini, et enfin l'infini de l'analyse et des limites défini comme un point inatteignable.

Toutefois cette dernière notion d'infini est trompeuse, elle est plutôt liée au concept d'illimité, bien distinct de l'infini en réalité comme nous l'on appris Riemann et Einstein.
Bien sûr cela ne s'arrête pas là, et l'imagination des mathématiciens permet de concevoir bien d'autres notions d'infini, montrant ainsi que si les possibilités de l'esprit humain ne sont pas infinies, elles sont en revanche sans limite.

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Le mythe du baromètre de Niels Bohr

Neutre : accessible à tous

Baromètre à eau
Source : Jean-Jacques MILAN
(Wikimedia commons)

En 1959 parait dans le magazine Pride de l'American College Public Relations Association un article intitulé Angels on a Pin, par Alexander Calandra, professeur de Physique à l'université de Washington à St. Louis dans le Missouri. Cet essai relate l'histoire d'un étudiant défiant toutes les attentes de son professeur sur une question simple de physique.

« A presque tous les niveaux, cet essai ne résiste pas à l'analyse critique. Je me demande pourquoi il est devenu si célèbre dans la communauté des Physiciens ? »
Donald Simanek, professeur émérite de Physique à l'université Lock Haven de Pennsylvanie.

Le titre serait une référence à la scolastique médiévale adepte de questionnements saugrenus comme combien d'anges peuvent danser sur la tête d'une aiguille ? 
Personnellement, je vois dans cette fable une illustration de l'importance de la créativité dans les sciences, compétence qui n'est que trop rarement stimulée dans l'enseignement, voire systématiquement ignorée...

On attribue généralement le rôle principal de l'histoire au célèbre physicien quantique Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962), prix Nobel de Physique en 1922 et l'arbitre au chimiste Sir Ernest Rutherford (1871-1937), prix Nobel de Chimie en 1908, même s'ils ne se sont probablement rencontré que bien après les études de Bohr.

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A mathematician's lament

Neutre : accessible à tous

« Les plus désespérés sont les chants les plus beaux »

(Alfred de Musset, La nuit de Mai, 1835)

Les  clefs du succès...
Source : Photos Libres

A mathematician's lament (2002) est un article de Paul Lockhart, mathématicien réputé et professeur à l'école Saint Ann de Brooklin, New York. Ce n'est pas seulement une critique de l'enseignement des mathématiques aux états-unis. Dans ce texte l'auteur nous rappelle que les mathématiques sont aussi et surtout un art, tout comme la musique ou les arts plastiques. Je vous invite à le découvrir à travers un extrait de son introduction.

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Non sérieusement, à quoi ça sert les maths ?

Neutre : accessible à tous

Cette question qu'aucun mathématicien n'a besoin de se poser tellement elle lui semble évidente, ne l'est pas pour tous. En effet, c'est la première question que pose un non spécialiste au mathématicien. Ce blog aura pour objectif de tenter d'y apporter une réponse originale, à travers... la physique !


« La philosophie est écrite dans ce grand livre qui se tient constamment ouvert devant les yeux (je veux dire l'Univers), mais elle ne peut se saisir si tout d'abord on ne se saisit point de la langue et si on ignore les caractères dans lesquelles elle est écrite. Cette philosophie, elle est écrite en langue mathématique; ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est impossible de saisir humainement quelque parole ; et sans lesquels on ne fait qu'errer vainement dans un labyrinthe obscur. » G. Galilei, Il Saggiatore (L'essayeur), 1623.


Par le terme "philosophie" de cette célèbre citation, il faut bien sûr comprendre "philosophie naturelle", ce que nous appelons maintenant la "science physique". Notons aussi qu'au temps de Galilée, les mathématiques résident principalement dans la géométrie et ses figures. De nos jours les mathématiques sont aussi gouvernées par des règles de manipulation d'objets abstraits représentés par des symboles, "caractères" d'un langage formalisé, mais ce n'est bien sûr pas à ce langage que Galilée fait référence.

Une paraphrase courante de cette citation exprime que « la nature est un livre écrit en langage mathématique ». A mon sens, cette interprétation sous-entend un réalisme auquel il est imprudent d'adhérer de nos jours. Tant qu'à déformer les propos de l'auteur, je préfère considérer que « la nature est un livre que l'on ne sait décrypter que par le langage mathématique ».

De cette façon apparaît clairement le rôle des mathématiques : elles sont un raffinement et un prolongement de notre pensée, et résident donc à la base de notre compréhension du monde.

Bien sûr ce point de vue est discutable, et je vous invite à me critiquer !

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