Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 4 : Les secrets vertigineux de l'infini

Moyen : réservé aux amateurs

« L'éternité, c'est long. Surtout vers la fin. »

Woody Allen (1935 - )

La lemniscate, symbole de l'infini

Qu'est-ce que l'infini ? Comment concevoir un concept par définition tellement immense que rien ne peut le contenir ?
Aussi surprenant que cela puisse paraître, la réponse n'est pas philosophique mais belle et bien mathématique.
Nous verrons qu'il est possible de définir l'infini de façon rigoureuse et consistante.
Nous verrons même qu'il existe de nombreux infinis différents : en fait il existe une infinité d'infinis différents !
Trois notions d'infinis jouent un rôle particulièrement important en mathématiques :
l'infini ordinal défini comme nombre plus grand que tous les nombres entiers, l'infini cardinal comme nombre d'éléments d'un ensemble infini, et enfin l'infini de l'analyse et des limites défini comme un point inatteignable.

Toutefois cette dernière notion d'infini est trompeuse, elle est plutôt liée au concept d'illimité, bien distinct de l'infini en réalité comme nous l'on appris Riemann et Einstein.
Bien sûr cela ne s'arrête pas là, et l'imagination des mathématiciens permet de concevoir bien d'autres notions d'infini, montrant ainsi que si les possibilités de l'esprit humain ne sont pas infinies, elles sont en revanche sans limite.

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 3 : les nombres rationnels

Moyen : réservé aux amateurs

L'homme de Vitruve par Leonard De Vinci
Source Luc Viatour

Qu'est-ce qu'une fraction ?
Si la réponse à cette question est relativement aisée grace au concept de proportion, nous verrons que les nombres rationnels possèdent des propriétés surprenantes.
Il n'est pas très éclairant d'effectuer pour les nombres rationnels la distinction ordinal/cardinal que nous avons observé pour les nombres entiers, même s'il est toujours possible de la faire. En revanche la cardinalité soulève tout de même quelques questions : qu'est-ce qu'une quantité fractionnaire ? Pire, qu'est-ce qu'une quantité fractionnaire négative ?
Une fois ces questions éclairées, nous verrons quelques exemples célèbres de nombres non rationnels tels que $\pi$ et $\sqrt 2$. Nous aborderons ensuite quelques propriétés de structure et de topologie de l'ensemble des nombres rationnels.

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 2 : les nombres entiers relatifs

Facile : accessible aux curieux

Nombres négatifs
(Source Wikipedia commons)

Une quantité de -2 objets, un marathonien arrivant en -3ème position, des nombres plus petits que rien ?! Que signifient les nombres négatifs ?

La réponse à cette question n'est simple que si l'on est habitué à leur utilisation. Et pour la plupart d'entre nous, peu importe ce qu'ils sont réellement ou ce qu'ils signifient, le fait est que ces nombres sont pour nous bien pratiques !

Toutefois, pour les géomètres de la Grèce antique, aussi bien que pour les mathématiciens arabes et mêmes indiens - alors que ces derniers comprenaient déjà la signification du zéro et des nombres négatifs -, les solutions négatives d'une équation sont considérées comme contre-natures, absurdes même selon les termes de Nicolas Chuquet (~1450-1488) et ne seront véritablement acceptées qu'aux XIX et XXème siècles ! Tellement utiles, mais aussi très problématiques...

Nous allons voir que leur sens est plus subtil que l'on croit, et qu'il est éclairant de le baser sur la distinction entre nombres ordinaux et cardinaux que nous avons abordée dans le chapitre précédent sur les nombres entiers naturels.

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 1: les nombres entiers naturels

Facile : accessible aux curieux

« Dieu fit le nombre entier, le reste est l'oeuvre de l'Homme » Léopold Kronecker (1823-1891) ¹

Il n'existe pas de définition mathématique satisfaisante du concept général de nombre. En revanche, beaucoup de nombres particuliers peuvent être rigoureusement définis. Nombres entiers naturels, relatifs, nombres rationnels, réels, imaginaires, transcendants, algébriques, calculables, etc.
Dans cette saga, nous verrons plusieurs exemples de nombres et tenterons de les comprendre intuitivement et visuellement. Ce premier épisode est consacré aux nombres entiers naturels.

Le "nombre entier" est un concept qui répond à deux besoins : celui d'ordonner un ensemble d'éléments, et celui de comparer "en puissance" des ensembles, c'est-à-dire de les dénombrer.
Pour ce premier besoin, on définit les nombres dits ordinaux, pour le second les nombres cardinaux. Ces deux notions sont a priori deux facettes des mêmes objets, mais deux facettes bien différentes...

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Des groupes dans la vie quotidienne

Facile : pour les curieux

La structure de groupe est un concept fondamental, dont l'usage dépasse largement les mathématiques. Il est très utilisé en physique, et nous verrons dans un prochain article un exemple de groupe important dans la théorie de la relativité restreinte.
Ici nous nous contenterons d'en donner la définition ainsi que quelques exemples simples.

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