Qu'est-ce que le temps ?

Facile : accessible aux curieux

Cadran solaire de Saint Rémy de Provence
Source : Wikipedia Commons

« Placez votre main sur un poêle une minute et ça vous semble durer une heure. Asseyez vous auprès d'une jolie fille une heure et ça vous semble durer une minute. C'est ça la relativité. »

Cette célèbre citation, attribuée à Einstein ¹ exprime bien l'aspect psychologique du temps. Le temps est indéniablement lié à nos sens, nous le perçevons à travers les durées, l'ordre et la simultanéité. Qu'en restera-t-il si nous lui enlevons ces propriétés ?

Le physicien et/ou le mathématicien s'intéressera à représenter le temps plutôt qu'à en sonder la nature. Pour lui le temps est avant tout un paramètre, c'est le degré de liberté des corps en intéraction ou en mouvement dans l'espace. Concrètement, ce paramètre permet de mesurer les durées (chronométrie), et de repérer l'ordre, la succession des évènements (chronologie). On représente mathématiquement ces propriétés : les durées sont des lieux dans un espace à une dimension, l'ordre est représenté en orientant cette droite.

Nous allons voir que cette représentation mathématique du temps comme une dimension supplémentaire à l'espace n'est pas l'apanage de la théorie de la relativité restreinte, et que la cinématique galiléenne s'exprime tout aussi bien dans ce cadre. Nous pourrons ainsi voir clairement les différences fondamentales entre les concepts de temps dans ces deux théories et tenterons de comprendre la géométrie qui se cache derrière le fameux changement de signe du "ds²" des mathématiciens. Nous verrons aussi qu'au cours de l'évolution de la science physique, le temps à progressivement perdu des propriétés que l'on croyait pourtant fondamentales...

Le temps "absolu" ou global

Hérité de la mécanique de Newton, le temps dit "absolu", qu'il existe effectivement ou ne soit qu'un a priori de notre conscience, est homogène et s'écoule indépendamment des phénomènes et en particulier des observateurs. Notons bien que le terme "absolu" appartient au registre de la philosophie, et n'a pas grand sens en physique, d'où les guillemets.

Pour le mathématicien, l'homogénéité signifie que l'espace-temps peut être représenté par un espace affine (à quatre dimensions) : l'espace-temps est identique en tous points. Chaque point (appelé évènement) peut être envoyé sur un autre par translation.

L'indépendance du temps vis-à-vis des observateurs permet de définir la simultanéité. Deux évènements distincts sont dits simultanés s'ils ont lieu "en même temps", c'est à dire si ces points ont tous la même coordonnée de temps :

Tous les points de la droite orange ont la même coordonnée de temps
pour tous les observateurs

Ainsi, en mécanique classique le temps n'est qu'une dimension quelconque parmi les autres, sa seule particularité étant son orientation ². L'espace-temps est découpé en tranches d'espace, littéralement.

L'espace-temps tridimensionnel classique est découpé en tranches

En mathématiques, on dit que c'est un espace fibré, à chaque instant (élément de la base du fibré, la dimension de temps) est associé une fibre d'espace indépendante des autres. Chaque fibre est un ensemble d'évènements "simultanés".
Dans l'espace-temps à deux dimensions, les fibres sont des droites de simultanéité. En trois dimension ce sont des plans de simultanéité et dans l'espace-temps de dimension quatre, chaque fibre est un espace tridimensionnel de simultanéité.

En clair, l'espace-temps est comme un "flip book" dont les pages sont à une, deux ou trois dimensions suivant les cas que nous venons de décrire.

Voici un exemple de flip book, représentant métaphoriquement un espace-temps fibré à trois dimensions, dont chaque fibre est une page :

Chaque page du flip book est une fibre ou un plan de simultanéité de l'espace
Source : Youtube - probable video virale pour la promotion du LG viewty

Dans cet espace-temps classique, il n'existe aucune limite de vitesse : si deux évènements simultanés sont reliés par un "messager", celui-ci se déplace à une vitesse infinie.

La géométrie que décrivent les évènements de cet espace-temps est dite euclidienne : la distance entre deux évènements

$X=(x, y, z, t)$ et $X^\prime=(x^\prime, y^\prime, z^\prime, t^\prime)$

vaut

$d(X,X^\prime)^2=(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2+(t-t^\prime)^2$.

Distance euclidienne entre deux points en dimension 2

Vous avez bien reconnu... Pythagore !

« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés »

Que vient faire ce célèbre théorème de mathématiques ici ?

C'est lui qui nous permet de calculer les coordonées des points en respectant la géométrie de l'espace. Prenons tous les points à une distance unité de l'origine. Ce sont tous les points $X$ de coordonnées $(x,y)$ telles que $d(X,O)=x^2+y^2=1$, ce qui est l'équation d'un cercle : l'ensemble des points du plan à une distance unité de l'origine d'un repère est un cercle, et c'est précisément ce qui caractérise la géométrie dite euclidienne !

Distance euclidienne unité par le théorème de Pythagore

Le temps "relatif" ou local

La nouveauté apportée par la théorie de la relativité au concept de temps est son caractère local. L'espace-temps n'est plus fibré par des hyperplans de simultanéité. Le concept de simultanéité n'a plus le même sens car il dépend du référentiel de l'observateur. Chaque observateur a un repère affine d'espace-temps différent, selon sa vitesse relativement à un observateur de référence.

Par exemple, soit un repère inertiel dans un espace-temps bidimensionnel. Cela revient à considérer un repère affine orienté et muni d'une distance unitaire dans le plan (voir l'article sur le groupe de la relativité restreinte pour plus de détails sur les repères affines). Dans ce repère, tous les évènements simultanés, donc les points appartenant à une même droite horizontale (si l'on choisit par convention de repérer le temps par les ordonnées) - dans l'exemple qui suit il s'agit de la droite verte - ne sont simultanés que pour un observateur mesurant les distances spatio-temporelles dans ce repère, c'est-à-dire au repos relativement à ce référentiel.

Droite des évènements simultanés dans un repère affine orienté

 

Ainsi, observer les évènements depuis un référentiel en mouvement rectiligne et uniforme relativement au référentiel précédent, même si au même point d'espace-temps (l'origine), revient à changer de repère affine. Nous passons au nouveau repère par une rotation ³ des axes d'un angle $\phi$. Notons que la distance doit être conservée, celle-ci étant définie le long d'une hyperbole dans le plan (un hyperboloïde tridimensionnel dans l'espace à quatre dimensions). Ainsi les points de l'hyperbole glissent le long de celle-ci au cours de la rotation des axes.

Deux repères affines => Deux droites de simultanéité

Nous voyons apparaître, par la superpostion des deux repères affines, une nouvelle droite de simultanéité (en violet) différente de la première. Cela signifie que les évènements qui étaient simultanés au repos ne le sont plus en mouvement, d'autres évènements sont alors observés comme simultanés.

A chaque évènement correspond une infinité de plans de simultanéité, selon sa ligne d'univers ou plus concrètement selon sa vitesse et sa direction relativement à un repère.

Dans cet espace-temps relativiste, il existe une vitesse limite. Aucun messager ne peut se déplacer plus vite. On représente cela par la présence d'un cône dans chaque repère affine : un observateur issu de l'origine ne peut se déplacer qu'à l'intérieur de ce cône (et dans sa partie supérieure) :

Le cône de lumière limite la vitesse de déplacement

La géométrie de cet espace-temps est dite hyperbolique : la distance entre deux évènements

$X=(x, y, z, t)$ et $X^\prime=(x^\prime, y^\prime, z^\prime, t^\prime)$

vaut

$d(X,X^\prime)^2=(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2-(t-t^\prime)^2$.

Ce simple changement de signe dans la définition de la métrique ou « ds² » pour les intimes, correspond au fait qu'une rotation des axes doit non plus respecter une sphère unitaire comme c'était le cas en géométrie euclidienne, mais un hyperboloïde unitaire. Ce n'est plus la relation de pythagore qui va servir de référence, mais une autre : cette fois ci dans notre cas de dimension deux, les points $X$ de coordonnées $(x,y)$ à distance unité de l'origine vérifient $x^2-t^2=1$. Ce ne sont donc pas l'ensemble des points dont les coordonnées déterminent les côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse 1, mais les points dont les carrés des coordonnées diffèrent de 1. Puisque les carrés diffèrent toujours de un, cela signifie que les points à distance unité de l'origine se rapprochent mais n'atteignent jamais le cône $x^2-t^2=0$.

L'aire du carré rouge rattrape l'aire du carré vert sans jamais l'atteindre

"Distance" lorentzienne unité :
$x^2$ (l'aire du carré vert) moins $t^2$ (l'aire du carré rouge) égale $1$ (l'aire du carré violet)

Le même raisonnement s'applique au évènements situés dans le cône, à la différence près que les rôles sont alors inversés ⁴ : la "distance" vaut $t^2-x^2$. Nous avons ainsi quatre branches d'hyperbole pour mesurer les "distances" des évènements à l'origine, selon qu'ils soient dans ou hors du cône, dans le passé ou le futur :

Les quatre banches d'hyperbole en dimension deux

Notons que la généralisation à trois ou quatre dimension ne pose aucun problème : l'hyperbole devient un hyperboloïde, et un hyperboloïde à trois dimensions respectivement (celui-ci est plus difficile à visualiser). La métrique qui lie des aires de carrés simplement lie plus de carrés en dimensions supérieures (et non pas des cubes ou hypercubes comme on pourrait l'imaginer).
Pour ce qui est de la constante $c$ dans la métrique $x^2+y^2+z^2-ct^2$ que nous avons délibérément ignoré par souci de clarté, elle signifie seulement que le cône n'est pas à angle droit, mais légèrement écrasé...

Tout ceci est très joli mais qu'est-ce que cela signifie physiquement ? Cela veut dire que la mesure du temps, la chronométrie, dépend du chemin parcouru par l'observateur !

Si deux observateurs partent de l'origine de l'espace-temps (donc du même point de départ et en même temps, ce qui a un sens tant qu'ils sont au repos à l'origine), et parcourent deux chemins différents (toujours dans le cône puisqu'ils ne peuvent pas dépasser la vitesse limite) puis se rejoignent, quel chemin aura été le plus court ? le plus "rapide" ?

L'observateur bleu reste au repos, le rouge fait un rapide aller-retour

Les points ont les coordonnées suivantes dans un repère affine (quelconque) :

$A=(0,0)$, $B=(x,t^\prime)$, $C=(0,t)$.

La distance $d(A,C)=t$ est la distance spatio-temporelle parcourue par l'observateur au repos.

On a $d(A,B)=\sqrt{t^{\prime 2}-x^2} \leq t^\prime$ et $d(B,C)=\sqrt{(t-t^\prime)^2-x^2} \leq t-t^\prime$.

Au final on a $d(A,B)+d(B,C)\leq t^\prime+(t-t^\prime)=t=d(A,C)$.

Autrement dit l'observateur qui s'est déplacé à pris un chemin plus court dans l'espace-temps ! Le chemin le plus court n'est plus la ligne droite, nous avons une géométrie non-euclidienne.

Remarquons que pour simplifier les calculs, nous n'avons pris en compte aucune accélération de la part de l'observateur en mouvement, ses trajectoires sont des lignes droites. Celui-ci se déplace d'abord à une vitesse nulle (lorsqu'il est au repos avec le second observateur), puis brusquement à une vitesse non nulle, puis brusquement à cette même vitesse mais en direction (spatiale) opposée, puis de nouveau à vitesse nulle, tout ceci sans transition... Ce comportement n'est certes pas très réaliste.
Pour prendre en compte les accélérations, il nous suffirait de considérer des lignes d'univers courbes, le long desquelles le cône de lumière serait incliné en fonction du vecteur vitesse. On voit alors bien que les deux observateurs ne sont pas symétriques, l'accélération ayant des conséquences physiques permettant de la distinguer du repère inertiel. Aucun besoin de sortir du cadre de la relativité restreinte pour sa version généralisée, contrairement à une fausse idée bien répandue.

Diagramme prenant en compte les accélérations

Conclusion

Voici donc ce que signifie ce changement de signe dans la métrique relativiste : l'espace-temps perd sa structure fibrée au profit d'une structure plus complexe. Chaque fibre est remplacée par une infinité de plans de simultanéité dépendant de l'observateur...

Le temps n'est donc plus "absolu", il n'est plus indépendant de l'observateur. Chaque observateur a "son temps propre", c'est en ce sens qu'il est devenu local.

Qu'en est-il dans les autres théories physiques ? En relativité générale, le temps (tout comme l'espace) perd aussi son homogénéité : on ne représente plus l'espace-temps par un espace affine, plat, mais par un espace plus général que l'on appelle une "variété". L'espace-temps de la relativité générale est courbe, et il n'est pas possible d'envoyer un évènement sur un autre par une simple translation.

En mécanique quantique, il n'y a plus de dimension privilégiée que l'on peut appeler temps. Le temps n'est plus une grandeur physique, mais un simple paramètre variable choisi de façon arbitraire...

Dans les théories plus récentes, ébauches de gravité quantique, il... n'existe même plus !

Mettons de côté les représentations mathématiques du temps, et essayons de répondre à la question de la nature non pas du temps, mais des mesures de durée.

De quoi parle-t-on lorsque l'on dit que nous sommes âgés de 45 ans par exemple ? Nous disons qu'entre le moment de notre naissance et le présent, notre planète à effectué 45 révolutions autour de son astre.

Et lorsque l'on affirme qu'un coureur n'a besoin que de 9 secondes et 58 centièmes pour parcourir 100 mètres ? Cela revient à affirmer qu'entre le départ et l'arrivée, il y a eu exactement $9,58 \times 9\, 192\, 631\, 770 = 88\, 065\, 412\, 360$ changements d'état de l'atome de césium 133 au repos.

Autrement dit on ne mesure jamais le temps lui-même. Toute mesure de durée n'est qu'une comparaison entre plusieurs variables physiques. Voilà pourquoi nous ne savons rien du "temps physique" : celui-ci n'existe pas ! La variable $t$ n'est qu'un outil pratique nous permettant de comparer les variables physiques dotées d'une certaine régularité.

En effet selon Carlo Rovelli, « l'idée d'un temps "t" qui s'écoule de lui-même, et par rapport auquel tout le reste évolue, n'est plus une idée efficace. Le monde ne peut pas être décrit par des équations d'évolution dans le temps "t". [...] Plutôt que de tout rapporter au "temps", abstrait et absolu, ce qui était un "truc" inventé par Newton, on peut décrire chaque variable en fonction de l'état des autres variables.» (C.Rovelli Qu'est-ce que le temps ? Qu'est-ce que l'espace ?, Bernard Gilson Editeur, 2008, p83)

Notes :

1. Il s'agit d'une paraphrase de l'original « When a man sits with a pretty girl for an hour, it seems like a minute. But let him sit on a hot stove for a minute and it's longer than any hour. That's relativity ».

Communication personnelle de A.Einstein à sa secrétaire Helen Dukas. Cité dans Contemporary quotations, James Beasley Simpson, p156, 1957. Aussi dans Expandable Quotable Einstein, édité par Alice Calaprice, 2005.

2. L'espace est aussi orienté mais il s'agit d'une orientation tridimensionnelle, une orientation des rotations. L'orientation du temps est unidimensionnelle, c'est une direction. Voir l'article sur le groupe de la relativité pour plus de détail sur l'orientation des repères affines.

3. L'angle $\phi$ de cette rotation est tel que $\tan\phi=\dfrac vc$ avec $v$ la vitesse du nouveau référentiel relativement au premier et $c$ la vitesse de la lumière dans le vide. En toute rigueur, il ne s'agit pas d'une rotation ordinaire, mais d'une rotation hyperbolique, d'où le fait que les deux axes tournent en sens contraire, pour "respecter l'hyperbole".

4. Ceci vient du fait que la forme quadratique n'est plus définie positive, et deux cas se présentent alors pour définir une distance, par définition toujours positive.

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